Contoh soal SPLK

1. Carilah himpunan penyelesaian SPLK berikut, kemudian gambarkan sketsa tafsiran geometerinya. y = x2 – 1 x – y = 3 Penyelesaian: Persamaan x – y = 3 dapat kita tulis ulang menjadi bentuk berikut. y = x – 3 subtitusikan y = x – 3 ke dalam persamaan y = x2 – 1 sehingga kita peroleh: ⇒ x – 3 = x2 – 1 ⇒ x – 3 = x2 – 1 ⇒ x2 – x – 1 + 3 = 0 ⇒ x2 – x + 2 = 0 Persamaan kuadrat di atas sulit untuk difaktorkan. Jika kita hitung nilai diskriminannya dengan nilai a = 1, b = −1, dan c = 2, maka kita peroleh: D = b2 – 4ac D = (−1)2 – 4(1)(2) D = 1 – 8 D = −7 Karena diskriminannya negatif (D < 1) maka persamaan kuadrat itu tidak memiliki penyelesaian. Oleh karena itu, SPLK di atas tidak memiliki penyelesaian sehingga himpunan penyelesaiannya dapat ditulis ∅. Interpretasi geometri dari SPLK ini adalah tidak adanya titik singgung maupun titik potong antara parabola dan garis lurus. Hal ini dapat kalian lihat pada gambar di bawah ini. grafik penyelesaian SPLK (sistem persamaan linear dan kuadrat) 2. Carilah himpunan penyelesaian SPLK berikut, kemudian gambarkan sketsa tafsiran geometerinya. x + y + 2 = 0 y = x2 – x – 2 Penyelesaian: Persamaan x + y + 2 = 0 dapat kita tuliskan sebagai berikut. y = −x – 2 Subtitusikan nilai y = −x – 2 ke persamaan y = x2 – x – 2 sehingga diperoleh: ⇒ −x – 2 = x2 – x – 2 ⇒ x2 – x + x – 2 + 2 = 0 ⇒ x2 = 0 ⇒ x = 0 Subtitusikan nilai x = 0 ke persamaan y = −x – 2 sehingga diperoleh: ⇒ y = −(0) – 2 ⇒ y = –2 Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {(0, −2)}. Tafsiran geometrinya berupa titik singgung antara garis lurus dan kurva parabola, yaitu di titik (0, −2) seperti yang ditunjukkan pada gambar berikut ini. grafik penyelesaian SPLK (sistem persamaan linear dan kuadrat) 2. Carilah himpunan penyelesaian dari tiap sistem persamaan linear dan kuadrat (SPLK) berikut ini, kemudian buatlah grafik penyelesaiannya (sketsa tafsiran geometri). a. y = x – 1 dan y = x2 – 3x + 2 b. y = x – 3 dan y = x2 – x – 2 c. y = −2x + 1 dan y = x2 – 4x + 3 Jawab: a. Subtitusikan bagian linear y = x – 1 ke bagian kuadrat y = x2 – 3x + 2, sehingga diperoleh: ⇒ x – 1 = x2 – 3x + 2 ⇒ x2 – 3x – x + 2 + 1 = 0 ⇒ x2 – 4x + 3 = 0 ⇒ (x – 1)(x – 3) = 0 ⇒ x = 1 atau x = 3 Nilai x = 1 atau x = 3 disubtitusikan ke persamaan y = x – 1. Untuk x = 1 diperoleh y = 1 – 1 = 0 → (1, 0) Untuk x = 3 diperoleh y = 3 – 1 = 2 → (3, 2) Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah berikut (3,2)}. Tafsiran geometrinya, garis y = x – 1 memotong parabola y = x2 – 3x + 2 di dua titik yang berlainan yaitu di (1, 0) dan di (3, 2). Perhatikan gambar di bawah ini. contoh soal grafik penyelesaian sistem persamaan linear dan kuadrat (SPLK) berbentuk eksplisit b. Subtitusikan y = x – 3 ke y = x2 – x – 2 sehingga diperoleh: ⇒ x – 3 = x2 – x – 2 ⇒ x2 – x – x – 2 + 3 = 0 ⇒ x2 – 2x + 1 = 0 ⇒ (x – 1)2 = 0 ⇒ x = 1 Nilai x = 1 disubtitusikan ke persamaan y = x – 3 sehingga didapatkan ⇒ y = 1 – 3 = −2 → (1, −2) Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {(1, −2)}. Tafsiran geometrinya, garis y = x – 3 menyinggung parabola y = x2 – x – 2 di titik (1, −2). Perhatikan gambar di bawah ini. contoh soal grafik penyelesaian sistem persamaan linear dan kuadrat (SPLK) berbentuk eksplisit c. Subtitusikan y = −2x + 1 ke y = x2 – 4x + 3, diperoleh ⇒ −2x + 1 = x2 – 4x + 3 ⇒ x2 – 4x + 2x + 3 – 1 = 0 ⇒ x2 – 2x + 2 = 0 Persamaan kuadrat ini tidak mempunyai akar real, karena D = (−2)2 – 4(1)(2) = −4 < 0. Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah himpunan kosong, ditulis ∅. Tafsiran geometrinya, garis y = −2x + 1 tidak memotong maupun menyinggung parabola y = x2 – 4x + 3. 3. Carilah himpunan penyelesaian dari SPLK berikut ini. 2x – y – 8 = 0 x2 + 4xy + 4y2 + 2x + 4y + 1 = 0 Jawab: Pada bagian persamaan linear, kita nyatakan y dalam x yaitu sebagai berikut. ⇒ 2x – y – 8 = 0 ⇒ y = 2x – 8 Lalu subtitusikan persamaan y = 2x – 8, ke persamaan kuadrat x2 + 4xy + 4y2 + 2x + 4y + 1 = 0, sehingga kita peroleh: ⇒ x2 + 4xy + 4y2 + 2x + 4y + 1 = 0 ⇒ x2 + 4x(2x – 8) + 4(2x – 8)2 + 2x + 4(2x – 8) + 1 = 0 ⇒ x2 + 8x2 – 32x + 4(4x2 – 32x + 64) + 2x + 8x – 32 + 1 = 0 ⇒ x2 + 8x2 – 32x + 16x2 – 128x + 256 + 2x + 8x – 32 + 1 = 0 ⇒ 25x2 – 150x + 225 = 0 ⇒ x2 – 6x + 9 = 0 ⇒ (x – 3)2 = 0 ⇒ x – 3 = 0 ⇒ x = 3 Setelah nilai x kita peroleh, selanjutnya subtitusikan x = 3, ke persamaan linear 2x – y – 8 = 0, yaitu sebagai berikut. ⇒ 2(3) – y – 8 = 0 ⇒ 6 – y – 8 = 0 ⇒ y = 6 – 8 ⇒ y = −2 Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {(3, −2)}. 4.Carilah himpunan penyelesaian SPLK berikut ini. x + 2y = 4 ……...……… bagian linear 2x2 – 3xy – 2y2 = 0 …. bagian kuadrat Jawab: Bagian kuadrat dapat difaktorkan sebagai berikut. ⇒ 2x2 – 3xy – 2y2 = 0 ⇒ (2x + y)(x – 2y) = 0 ⇒ 2x + y = 0 atau x – 2y = 0 Kemudian hasil ini kita gabungkan dengan persamaan linear semula, sehingga akan diperoleh dua Sistem Persamaan Linear Dua Variabel (SPLDV), yaitu sebagai berikut. x + 2y = 4 ………. SPLDV pertama 2x + y = 0 x + 2y = 4 ………. SPLDV kedua x – 2y = 0 Selanjutnya masing-masing SPLDV itu diselesaikan dengan menggunakan salah satu dari metode penyelesaian SPLDV berikut ini.