Persamaan dan pertidaksamaan irasional

Contoh soal persamaan irasional Contoh soal 1 Tentukan nilai x yang memenuhi persamaan irasional √ x – 1   = x – 3 Penyelesaian soal Untuk menjawab soal 1 kita tentukan dahulu syarat agar persamaan irasional berlaku yaitu: x – 1 ≥ 0 atau x ≥ 1.x – 3 ≥0 atau x ≥ 3. Ambil syarat yang terbesar sehingga syarat yang berlaku pada persamaan irasional soal nomor 1 adalah x ≥ 3. Selanjutnya kita hilangkan tanda akar dengan cara mengkuadratkan kedua ruas persamaan seperti dibawah ini: ( √ x – 1   )2 = (x – 3)2(x – 1) = x2 – 6x + 9x2 – 6x – x + 9 + 1 = 0x2 – 7x + 10 = 0(x – 2) (x – 5) = 0x = 2 atau x = 5 Karena syarat yang berlaku pada persamaan nomor 1 adalah x ≥ 3 maka nilai x yang memenuhi adalah x = 5. Jadi soal nomor 1 jawabannya adalah x = 5. Untuk memeriksa apakah jawaban ini benar atau salah maka caranya cukup mudah yaitu dengan subtitusi x = 5 ke persamaan irasional nomor 1: √ x – 1   = x – 3√ 5 – 1   = 5 – 3√ 4   = 22 = 2 Kita lihat jawabannya sesuai. Jika x = 2 kita subtitusi ke persamaan maka hasilnya sebagai berikut: √ 2 – 1   = 2 – 31 = – 1. Kita lihat hasilnya tidak sesuai. Contoh soal 2 Tentukan nilai x yang memenuhi persamaan irasional √ x2 – 9   = √ x + 3   . Penyelesaian soal Sama seperti nomor 1, kita tentukan dahulu syarat persamaan irasional yaitu: x2 – 9 ≥ 0 atau x2 ≥ 9 → x ≤ -3 atau x ≥ 3.x + 3 ≥ 0 atau x ≥ -3. Kita lihat syarat pertama x ≤ -3 dan yang kedua x ≥ -3 jadi syarat yang berlaku adalah x = -3 dan x ≥ 3. Setelah itu kita kuadratkan kedua ruas persamaan irasional sehingga didapat: (√ x2 – 9 )2 = ( √ x + 3 )2.x2 – 9 = x + 3x2 – x – 9 – 3 = 0x2 -x – 12 = 0(x – 4) (x + 3) = 0x = 4 atau x = -3 Berdasarkan syarat kedua nilai x memenuhi sehingga jawaban soal ini adalah x = – 3 dan x = 4. Contoh soal pertidaksamaan irasional Contoh soal 1 Tentukan himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan irasional √ x – 5   < 2. Penyelesaian soal Untuk menjawab soal ini kita tentukan terlebih dahulu syarat agar pertidaksamaan irasional berlaku yaitu: x – 5 ≥ 0x ≥ 5 Selanjutnya kita kuadratkan kedua ruas pertidaksamaan irasional sehingga didapat: (√ x – 5 )2 < 22.x – 5 < 4x < 4 + 5 atau x < 9 Lalu kita buat garis bilangan untuk menentukan irisan antara syarat x ≥ 5 dan x < 9. Berdasarkan gambar diatas maka himpunan pertidaksamaan irasional nomor 1 adalah 5 ≤ x < 9. Contoh soal 2 Tentukan himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan irasional √ x – 1   > 2 Penyelesaian soal Syarat yang berlaku pada pertidaksamaan irasional diatas sebagai berikut: x – 1 ≥ 0.x ≥ 1. Kemudian kita kuadratkan pertidaksamaan diatas sehingga didapat: ( √ x – 1  )2 > 22x – 1 > 4x > 4 + 1x > 5 Jadi himpunan penyelesaian pertidaksamaan ini adalah x > 5. Contoh soal 3 Tentukan himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan irasional √ 16 – x2   ≤ x + 4. Penyelesaian soal Syarat pertidaksamaan irasional: 16 – x2 ≥ 0.x2 – 16 ≤ 0.(x – 4)(x + 4) ≤ 0.x = 4 dan x = -4-4 ≤ x ≤ 4 Kemudian kita kuadratkan pertidaksamaan seperti dibawah ini: ( √ 16 – x2 )2 ≤ (x + 4)216 – x2 ≤ x2 + 8x + 1616 – x2 – x2 – 8x – 16 ≤ 0-2x2 – 8x ≤ 02x2 + 8x > 02x (x + 4) > 0x ≤ – 4 dan x ≥ 0 Lalu kita buat garis bilangan antara syarat dengan hasil diatas sebagai berikut: Jadi berdasarkan gambar diatas maka himpunan penyelesaian soal nomor 2 adalah x = -4 dan 0 ≤ x ≤ 4. Contoh soal 4 Tentukan himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan √ 2x – 1   < √ x + 2  . Penyelesaian soal Syarat pertidaksamaan berlaku: 2x – 1 ≥ 0 atau x ≥ 1/2.x + 2 ≥ 0 atau x ≥ – 2. Kuadratkan kedua ruas pertidaksamaan sehingga didapat: ( √ 2x – 1 )2 < ( √ x + 2 )22x – 1 < x + 22x – x < 2 + 1x < 3 Berdasarkan gambar diatas maka himpunan penyelesaian soal nomor 4 adalah 1/2 ≤ x < 3.