Sistem pertidaksamaan kuadrat kuadrat

• Pertidaksamaan Kuadrat-Kuadrat Bentuk umum pertidaksamaan kuadrat adalah sebagai berikut : ax² + bx + c > 0 ax² + bx + c ≥ 0 ax² + bx + c < 0 ax² + bx + c ≤ 0 a, b, c bilangan real dan a ≠ 0. ○ Pertidaksamaan kuadrat adalah persamaan kuadrat dengan notasi kurang dari (<), lebih dari (>), kurang dari sama dengan (≤) ataupun lebih dari sama dengan (≥). Cara menentukan penyelesaian pertidaksamaan kuadrat sebagai berikut: • Tentukan akar-akar pertidaksamaan kuadrat. Caranya bisa menggunakan metoden pemfaktoran ataupun dengan rumus ABC. • Buat garis bilangan • Berdasarkan garis bilangan kita tentukan himpunan penyelesaian pertidaksamaan kuadrat. ▪︎ Contoh soal 1 Himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan kuadrat x2 – 8x + 15 ≤ 0 untuk x ∈ R adalah… A. {x|-5 ≤ x ≥ -3} B. {x|3 ≤ x ≤ 5} C. {x|x ≤ -5 atau x ≥ -3} D. {x|x ≤ -3 atau x ≥ 5} E. {x|x ≤ -3 atau x ≥ -5} Pembahasan / penyelesaian soal Untuk menjawab soal ini kita faktorkan pertidaksamaan diatas dengan cara: → x2 – 8x + 15 ≤ 0 → (x – 3) (x – 5) ≤ 0 → x1 = 3 atau x2 = 5 Lalu kita buat garis bilangan. Untuk menentukan tanda (+) atau (-) kita subtitusikan angka < 3 (misalkan x = 2) ke x2 – 8x + 15 = 22 – 8 . 2 + 15 = +3. Karena hasilnya positif berarti tanda garis bilangan positif (+, – , +) seperti gambar dibawah ini. Karena notasi pertidaksamaan kurang dari sama dengan (≤) maka himpunan penyelesaian ditunjukkan oleh garis bilangan bertanda negatif atau pada interval 3 ≤ x ≤ 5. Jadi soal ini jawabannya B. ▪︎ Contoh soal 2 Himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan kuadrat x2 – 5x – 6 > 0 untuk x ∈ R adalah … A. {x|x < -1 atau x > 6} B. {x|x < 2 atau x > 3} C. {x|-3 < x < 2} D. {x|x < -6 atau x > 6} E. {x|-6 < x < 1} Pembahasan / penyelesaian soal Cara menjawab soal ini sebagai berikut: → x2 – 5x – 6 > 0 → (x – 6)(x + 1) > 0 → x1 = 6 atau x2 = -1 Untuk menentukan tanda garis bilangan kita subtitusikan angka yang lebih kecil dari -1 (misalkan x = – 2) ke pertidaksamaan kuadrat x2 – 5x – 6 = (-2)2 – 5 (-2) – 6 = 4 + 10 – 6 = + 9. Hasilnya positif sehingga tanda garis bilangan diawali positif (+ , – , +): Karena notasi pertidaksamaan lebih dari (>) maka himpunan penyelesaian ditunjukkan oleh garis bilangan dengan tanda positif atau pada interval {x|x < -1 atau x > 6}. Jadi soal ini jawabannya A. ▪︎ Contoh soal 3 Himpunan penyelesaian pertidaksamaan x2 + 4x – 21 ≤ 0 adalah… A. {x|x ≤ 3 atau x ≥ 7, x ∈ R } B. {x|x ≤ -3 atau x ≥ 7, x ∈ R } C. {x|3 ≤ x ≤ 7, x ∈ R} D. {x|-7 ≤ x ≤ 3, x ∈ R} E. {x|-3 ≤ x ≤ 7, x ∈ R} Pembahasan / penyelesaain soal Cara menjawab soal ini sebagai berikut: x2 + 4x – 21 ≤ (x + 7)(x – 3) ≤ 0 x1 = -7 atau x2 = 3 Berdasarkan garis bilangan diatas maka himpunan penyelesaian soal nomor 5 adalah {x|-7 ≤ x ≤ 3, x ∈ R}. Soal ini jawabannya D. ▪︎ Contoh soal 4 Himpunan penyelesaian dari 3x2 + 4x > 7 adalah … A. x < – 1/4 atau x > 0 B. x < – 1/2 atau x > 1 C. x < -1 atau x > 1 D. x < -7/3 atau x > 1 E. x < -1/3 atau x > 0 Pembahasan / penyelesaian soal Pertidaksamaan diatas diubah bentuknya menjadi 3x2 + 4x – 7 > 0. Jadi kita ketahui a = 3, b = 4 dan c = -7. Selanjutnya kita tentukan akar-akar dari pertidaksamaan dengan menggunakan rumus ABC: → x1,2 = -b ± √ b2– 4 . a . c 2 . a → x1,2 = -4 ± √ 42– 4 . 3 . -7 2 . 3 → x1,2 = – 4 ± √ 100 6 = – 4 ± 10 6 → x1 = -4 + 10 6 = 1 → x2 = -4 – 10 6 = -14 6 = – 7 3 Selanjutnya kita buat garis bilangan dengan cara subtitusi angka yang lebih kecil dari -7/3 (misalkan x = -3) ke 32 + 4x – 7 = 3 . (-3)2 + 4 (-3) – 7 = + 8. Hasilnya positif sehingga tanda garis bilangan +, -, + atau: Karena notasi pertidaksamaan kuadrat > maka himpunan penyelesaian ditunjukkan oleh garis bilangan dengan tanda positif x < -7/3 atau x > 1. Soal ini jawabannya D. ▪︎ Contoh soal 5 Himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan x2 – 3x – 10 < 0 adalah… A. x< -2 atau x > 5 B. x < 5 C. -2 < x < 5 D. -5 < x < 2 E. 2 < x < 5 Pembahasan / penyelesaian soal Cara menjawab soal ini sebagai berikut: → x2 – 3x – 10 < 0 → (x – 5) (x + 2) < 0 → x1 = 5 atau x2 = – 2 Untuk membuat garis bilangan kita subtitusikan angka yang lebih kecil dari – 2 (misalkan x = -3) ke x2 – 3x – 10 = (-3)2 – 3 . (- 3) – 10 = + 8. Hasilnya positif sehingga tanda garis bilangan diawali positif (+ , – , +): Karena notasi pertidaksamaan kuadrat kurang dari (<) maka himpunan penyelesaian ditunjukkan oleh garis bilangan dengan tanda negatif atau pada interval -2 < x < 5. Soal ini jawabannya C.